Scherung (Geometrie)

Unter einer Scherung oder auch Transvektion versteht man ursprünglich in der Geometrie der Ebene bestimmte affine Abbildungen der Ebene auf sich selbst, bei denen der Flächeninhalt erhalten bleibt. Bei einer Scherung bleibt eine Gerade der Ebene (die Fixpunktgerade oder Achse der Scherung) fix, das heißt, jeder Punkt dieser Geraden wird auf sich abgebildet. Alle anderen Punkte der Ebene werden parallel zur Achse verschoben, dabei ist die Länge des Verschiebungsvektors eines Punktes proportional zum Abstand dieses Punktes von der Achse. Alle Geraden, die parallel zur Achse sind, werden auf sich abgebildet, sind also Fixgeraden. Strecken auf diesen Geraden werden längentreu abgebildet.

Bei einer Scherung bleibt also der Abstand jedes Punktes zur Achse unverändert. Damit werden Rechtecke und Dreiecke, bei denen eine Seite parallel zur Achse ist, auf Parallelogramme bzw. Dreiecke abgebildet, die (lotrecht zu der Seite, die parallel zur Achse ist) eine gleich lange Höhe haben (vgl. die Abbildung).

Der Begriff der (ebenen) Scherung kann unterschiedlich auf Affinitäten im Raum und in höheren Dimensionen verallgemeinert werden. Zwei Möglichkeiten, bei denen die verallgemeinerte Scherung das Volumen der abgebildeten Figuren nicht ändert, werden hier dargestellt.

Die Hintereinanderausführung einer Scherung und einer zentrischen Streckung (in beliebiger Reihenfolge) ergibt eine Scherstreckung, bei der im Allgemeinen Flächen- und Rauminhalte nicht gleich bleiben.